已知等比数列{an}中，a2=2，a5=128．若bn=log2an，数列{bn}前n项的和为Sn．若Sn=35，求n的值；求不等式Sn＜2bn的解

题文

已知等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=128．若b_n=log₂a_n，数列{b_n}前n项的和为S_n．
（Ⅰ）若S_n=35，求n的值；
（Ⅱ）求不等式S_n＜2b_n的解集． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a₂=a₁q=2，a₅=a₁q⁴=128得q³=64，
∴q=4，a₁=12
∴a_n=a₁q^n-1=12×4n-1=2^2n-3，∴b_n=log₂a_n=log₂2^2n-3=2n-3
∵b_n+1-b_n=[2（n+1）-3]-（2n-3）=2
∴{b_n}是以b₁=-1为首项，2为公差数列；
∴S_n=(-1+2n-3)n2=35，即n²-2n-35=0，可得（n-7）（n+5）=0，
即n=7；
（Ⅱ）∵S_n-b_n=n²-2n-（2n-3）=n²-4n+3＜0
∴3-3＜n＜3+3，∵n∈N⁺，
∴n=2，3，4，即所求不等式的解集为{2，3，4}；

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}中，a2=2，a5=.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。