已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4=-716，且对于任意的n∈N+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差；求数列{an}的通项公式；（

题文

已知数列{a_n}为等比数列，其前n项和为S_n，已知a1+a4=-716，且对于任意的n∈N₊有S_n，S_n+2，S_n+1成等差；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知b_n=n（n∈N₊），记Tn=|b1a1|+|b2a2|+|b3a3|+…+|bnan|，若（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2恒成立，求实数m的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵对于任意的n∈N₊有S_n，S_n+2，S_n+1成等差，
∴2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q．
整理得：2a1(1+q+q2)=a1(2+q)．
∵a₁≠0，∴，2+2q+2q²=2+q．
∴2q²+q=0，又q≠0，∴q=-12．
又a1+a4=a1(1+q3)=-716，
把q=-12代入后可得a1=-12．
所以，an=a1qn-1=(-12)×(-12)n-1=(-12)n；
（Ⅱ）∵b_n=n，an=(-12)n，∴|bnan|=|n(-12)n|=n•2n，
∴Tn=1×21+2×22+3×23+…+n•2n．
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)•2n+n•2n+1．
∴-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=2×(1-2n)1-2-n•2n+1
∴Tn=-(2-2n+11-2-n•2n+1)=(n-1)•2n+1+2．
若（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2恒成立，
则（n-1）²≤m[（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-n-1]对于n≥2恒成立，
也就是（n-1）²≤m（n-1）•（2ⁿ⁺¹-1）对于n≥2恒成立，
∴m≥n-12n+1-1对于n≥2恒成立，
令f(n)=n-12n+1-1，
∵f(n+1)-f(n)=n2n+2-1-n-12n+1-1=(2-n)•2n+1-1(2n+2-1)(2n+1-1)＜0
∴f（n）为减函数，∴f（n）≤f（2）=2-123-1=17．
∴m≥17．
所以，（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2恒成立的实数m的范围是[17，+∞）．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}为等比数列，其前n项和为.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。