已知数列{an}满足：a1=1，an+1=12an+n，n为奇数an-2n，n为偶数求a2、a3、a4、a5；设bn=a2n-2，n∈N，求证{bn

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=12an+n，n为奇数an-2n，n为偶数
（1）求a₂、a₃、a₄、a₅；
（2）设b_n=a_2n-2，n∈N，求证{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（3）在（2）条件下，求证数列{a_n}前100项中的所有偶数项的和S₁₀₀＜100． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a2=32，a3=-52，a4=74，a5=-254；
（2）∵bn+1bn=a2n+2-2a2n-2=12a2n+1 +2n+1-2a2n-2
=12(a2n-4n)+2n-1a2n-2=12a2n-1a2n-2=12，
又∵b1=a2-2=-12，
∴数列{b_n}是等比数列，
且bn=(-12)(-12)n-1=(-12)n；
（3）由（2）得：
a2n=bn+2=2-(12)n     （n=1，2，…，50）
∴S100=a2+a4+…+a100=2×50-12(1-1250)1-12=99+1299＜100．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=1，an+1.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。