已知数列{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，S3=7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数列．求数列{an}的通项；令bn

题文

已知数列{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a1+a2+a3=7(a1+3)+(a3+4)=6a2
解得a₁=1，q=2
∴a_n=2^n-1
（2）T_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1
2T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ
两市相减得-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ
∴T_n=（n-1）×2ⁿ+1

解析

a1+a2+a3=7(a1+3)+(a3+4)=6a2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是公比大于1的等比数列，.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。