设等差数列{an}的公差d≠0，数列{bn}为等比数列，若a1=b1=a，a3=b3，a7=b5求数列{bn}的公比q；将数列{an}，{bn}中的

题文

设等差数列{a_n}的公差d≠0，数列{b_n}为等比数列，若a₁=b₁=a，a₃=b₃，a₇=b₅
（1）求数列{b_n}的公比q；
（2）将数列{a_n}，{b_n}中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列{c_n}，是否存在正整数λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）使得λ，μ，ω和c_λ+λ，c_μ+μ，c_ω+ω均成等差数列？若存在，求出λ，μ，ω的值，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设{b_n}的公比为q，由题意aq2=a+2daq4=a+6d，即aq2-a=2daq4-a=6d---------------------------------------------（2分）
q=1不合题意，故q2-1q4-1=13，解得q²=2，
∴q=±2----------------（4分）
（2）若{a_n}与{b_n}有公共项，不妨设a_n=b_m，
由（2）知：m为奇数，且n=2m+12-1，
令m=2k-1（k∈N^*），则b_m=a•(2)2k-1-1=a•2^k-1，
∴c_n=2^n-1a---------------------------------------------------------------（12分）
若存在正整数λ，μ，ω（其中λ＜μ＜ω）满足题意，
设p=λ，q=μ，r=ω则2q=p+r2(a•2q-1+q)=(a•2p-1+p)+(a•2r-1+r)，
∴2^q=2^p-1+2^r-1，又2^p-1+2^r-1≥22p+r-2=2p+r2（当且仅当p=r时取“=”）
又p≠r，
∴又2^p-1+2^r-1＞2p+r2----------------------（14分）
又y=2^x在R上增，
∴q＞p+r2．与题设q=p+r2矛盾，
∴不存在λ，μ，ω满足题意．------------------------------------------（16分）

解析

aq2=a+2daq4=a+6d

考点

据考高分专家说，试题“设等差数列{an}的公差d≠0，数列{b.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。