设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且对任意正整数n，点在直线2x+y-2=0上．求数列{an}的通公式；若bn=

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通公式；
（Ⅱ）若b_n=（n+1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）在数列{a_n}中，前n项和为S_n，且点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上；
所以，2a_n+1+S_n-2=0，则2an+1+Sn-2=02an+Sn-1-2=0(n≥2)⇒2an+1=an(n≥2)，
∴an+1an=12(n≥2)（*），又∵2a₂+s₁-2=0，∴a₂=12，∴a2a1=12满足关系式（*），
∴数列{a_n}的通公式为：an=(12)n-1；
（II）由（I）知，bn=(n+1)(12)n-1，数列{b_n}的前n项和T_n有：
T_n=2×120+3×121+4×122+…+(n+1)12n-1①；
∴12T_n=2×121+3×122+4×123+…+(n+1)12n②；
①-②，得12T_n=2×120+121+122+123+…+12n-1-(n+1)12n
=1+1×(1- 12n) 1-12-n+12n=3-n+32n；
∴T_n=6-n+32n-1．

解析

2an+1+Sn-2=02an+Sn-1-2=0(n≥2)⇒2an+1=an(n≥2)

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。