在等比数列{an}中，a2a3=32，a5=32．求数列{an}的通项公式；设数列{an}的前n项和为Sn，求S1+2S2+…+nSn．

题文

在等比数列{a_n}中，a₂a₃=32，a₅=32．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S₁+2S₂+…+nS_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意
a1q•a1q2=32a1q4=32，解得a₁=2，q=2，
∴an=2•2n-1=2n．
（2）∵a₁=2，q=2，
∴Sn=2(1-2n)1-2=2（2ⁿ-1），
∴S₁+2S₂+…+nS_n=2[（2+2•2²+…+n•2ⁿ）-（1+2+…+n）]，
设Tn=2+2•22+…+n•2n，①
则2T_n=2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2(1-2n)1-2-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2，
∴S₁+2S₂+…+nS_n=2[（n-1）•2ⁿ⁺¹+2]-n（n+1）=（n-1）•2ⁿ⁺²+4-n（n+1）．

解析

a1q•a1q2=32a1q4=32

考点

据考高分专家说，试题“在等比数列{an}中，a2a3=32，a.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。