已知递增等比数列{bn}满足b2•b4=64，b5=32，数列{an}满足an-bn=12n．求数列{an}的通项公式；设数列{cn}的通项公式cn

题文

已知递增等比数列{b_n}满足b₂•b₄=64，b₅=32，数列{a_n}满足an-bn=12n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}的通项公式cn=nan-12，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵递增等比数列{b_n}满足b₂•b₄=64，b₅=32，设公比为q，则有  b12 q⁵=64，且 b₁q⁴=32，
解得 b₁=2，q=2，b_n=2ⁿ．
再由 {a_n}满足an-bn=12n，得 a_n=b_n+12n=2ⁿ+12n．
（Ⅱ）∵数列c_n=na_n-12，∴c_n =n 2ⁿ．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹  ②．
①-②可得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

解析

12n

考点

据考高分专家说，试题“已知递增等比数列{bn}满足b2•b4=.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。