已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．求{an}的通项公式．令cn=-log3an，求数列{cnan}的前

题文

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．
（I）求{a_n}的通项公式．
（II）令c_n=-log₃a_n，求数列{c_na_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设等比数列公比为q，由题意，
解2a1+3a1•q=1(a1•q2)2=9a1•q•a1•q5得a1=13q=13…（4分）
故{a_n}的通项公式为an=(13)n…（6分）
（II）由（I）得：c_n=-log₃a_n=n，
∴{c_na_n}={n(13)n}…（7分）
Sn=(13)1+2(13)2+3(13)3+…+n(13)n13Sn=(13)2+2(13)3+…+(n-1)(13)n+n(13)n+1
相减得 23Sn=(13)+(13)2+…+(13)n-n(13)n+1…（9分）
=131-(13)n1-13-n(13)n+1=1-(13)n2-n(13)n+1
∴Sn=34[1-(13)n]-3n2(13)n+1=34-3+2n4(13)n…（12分）

解析

2a1+3a1•q=1(a1•q2)2=9a1•q•a1•q5

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的各项均为正数，且2.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。