已知数列{an}是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a1+1，a3+1，a7+1成等比数列．求{an}的通项公式；记数列{1Sn}的前n项和

题文

已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，它的前n项和为S_n，且a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记数列{1Sn}的前n项和为T_n求证：T_n＜34． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）数列{a_n}是公差为2的等差数列，
∴a₃=a₁+5，a₇=a₁+13
∵a₁+1，a₃+1，a₇+1成成等比数列，
∴(a1+5)2=(a1+1)(a1+13)      …（3分）
解之得a₁=3，
所以a_n=2n+1…（6分）
（2）证明：由（1）得a_n=2n+1，s_n=n（n+2）
∴1sn=12(1n-1n+2)，…（9分）
∴T_n=12（1-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2）
=12(1+12-1n+1-1n+2)＜34…（13分）

解析

1sn

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是公差为2的等差数列，它.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。