已知：数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-2n求数列{an}的通项公式an；若数列{bn}满足bn=log2，而

题文

已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2n（n∈N*）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），而T_n为数列{bnan+2}的前n项和，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n∈N*时，S_n=2a_n-2n，①则当n≥2，n∈N*时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2，∴a_n+2=2（a_n-1+2）∴an+2an-1+2=2．
当n=1 时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，当n=2时，a₂=6，∴{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+2=4•2^n-1，∴a_n=2ⁿ⁺¹-2，（7分）
（2）由b_n=log₂（a_n+2）=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，得bnan+2=n+12n+1，
则T_n=222+323+…+n+12n+1，③12Tn=223+…+n2n+1+n+12n+2，④
③-④，得12Tn=222+123+124+…+12n+1+n+12n+2
=14+14(1-12n)1-12-n+12n+2
=14+12-12n+1-n+12n+2
=34-n+32n+2
∴T_n=32-n+32n+1（14分）

解析

an+2an-1+2

考点

据考高分专家说，试题“已知：数列{an}的前n项和为Sn，满足.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。