已知数列{an}是等比数列，a4=e，如果a2，a7是关于x的方程：ex2+kx+1=0，(k＞2e)两个实根，求{an}的通项公式

题文

已知数列{a_n}是等比数列，a₄=e，如果a₂，a₇是关于x的方程：ex2+kx+1=0，(k＞2e)两个实根，（e是自然对数的底数）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设：b_n=lna_n，S_n是数列{b_n}的前n项的和，当：S_n=n时，求n的值；
（3）对于（2）中的{b_n}，设：c_n=b_nb_n+1b_n+2，而 T_n是数列{c_n}的前n项和，求T_n的最大值，及相应的n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₂，a₇是关于x的方程：ex2+kx+1=0，(k＞2e)两个实根，
∴a₂a₇=1e
∴a₁²q⁷=1e   ①
∵a₄=e，②
①②得a₁q⁴=1e2=a₅
∴q=e^-3
∴数列的通项是a_n=e×（e^-3）^n-4=e^-3n+13
（2）∵b_n=lna_n=-3n+13，
∴数列{b_n}是一个等差数列
∴数列{b_n}的前n项的和S_n是[10+(-3n+13)]n2=-32n2+232n，
∴S_n=n时，有32n2+232n=n，
∴n=7，n=0（舍去）
∴n=7即n的值为7．
（3）∵b₁=10，b₂=7，b₃=4，b₄=1，b₅=-2，b₆=-5
∴c₁=280，c₂=28，c₃=-8，c₄=10，从第五项开始，这个数列的项就是负数，
∵T₁=280，
T₂=308
T₃=300
T₄=310
T₅一定小于T₄，
T₆一定小于T₅，依此类推
∴T_n的最大值310，相应的n的值是2．

解析

e

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是等比数列，a4=e，如.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。