设等比数列{an}满足：Sn=2n+a．求数列{an}的通项公式，并求最小的自然数n，使an＞2010；数列{bn}的通项公式为bn=

题文

设等比数列{a_n}满足：S_n=2ⁿ+a（n∈N₊）．
（I）求数列{a_n}的通项公式，并求最小的自然数n，使a_n＞2010；
（II）数列{b_n}的通项公式为b_n=-nan，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）当n=1时，a₁=2+a当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（3分）
∵{a_n}为等比数列，
∴a₁=2+a=2^1-1=1，
∴a=-1
∴{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1（5分）
令2^n-1＞2010，又n∈N₊，
∴n≥12．
∴最小的自然数n=12（7分）
（II）bn=-nan=-n2n-1，Tn=-(1•1+2•12+3•122++n•12n-1)①（9分）12Tn=-[1•12+2•122+(n-1)12n-1+n•12n]②
②-①得-12Tn=1+12+122++12n-1-n•12n，
∴Tn=n+22n-1-4（14分）

解析

nan

考点

据考高分专家说，试题“设等比数列{an}满足：Sn=2n+a（.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。