已知等比数列{an}，a2=8，a5=512．求{an}的通项公式；令bn=log2an，求数列bn的前n项和Sn．

题文

已知等比数列{a_n}，a₂=8，a₅=512．
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）令b_n=log₂a_n，求数列b_n的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设数列{a_n}的公比为q，
由a₂=8，a₅=512，
可得a₁q=8，a₁q⁴=512
解得a₁=2，q=4．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2×4^n-1．
（II）由a_n=2×4^n-1，
得b_n=log₂a_n=2n-1．
所以数列{b_n}是首项b₁=1，公差d=2的等差数列．
故S_n=(1+2n-1)2×n=n2．
即数列{b_n}的前n项和S_n=n²．

解析

(1+2n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}，a2=8，a5=5.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。