已知等比数列{an}中，a2，a3，a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a1=12公比q≠1．求数列{an}的通项公式；已知数列{bn}

题文

已知等比数列{a_n}中，a₂，a₃，a₄分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a1=12公比q≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足bn=log12an2，S_n是数列{b_n}的前n项和，求证：当n≥5时，a_nS_n＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得a₂-a₃=2（a₃-a₄）．
从而得2q²-3q+1=0
解得q=12或q=1（舍去）…（4分）
所以a_n=a₁•q^n-1=12•（12）^n-1=(12)n．
∴数列{a_n}的通项公式为an=(12)n；…（6分）
（2）由于bn=2log12(12)n=2n•Sn=n(n+1)，anSn=n(n+1)2n．
因此所证不等式等价于：2ⁿ＞n（n+1）（n≥5．）
①当n=5时，因为左边=32，右边=30，32＞30，所以不等式成立；
②假设n=k（k≥5）时不等式成立，即2^k＞k（k+1），
两边同乘以2得2^k+1＞（k+1）（k+2）．
这说明当n=k+1时也不等式成立．
由①②知，当n≥5时，2ⁿ＞n（n+1）成立．
因此，当n≥5时，a_nS_n＜1成立．…（12分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}中，a2，a3，a4.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。