设数列{an}是等比数列，a1=C3m2m+3⋅A1m-2，公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项．求a1；用n，x表示数列

题文

设数列{a_n}是等比数列，a1=C3m2m+3⋅A1m-2，公比q是(x+14x2)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）求a₁；
（2）用n，x表示数列{a_n}的通项a_n和前n项和S_n；
（3）若An=C1nS1+C2nS2+…+CnnSn，用n，x表示A_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁=C3m2m+3•A1m-2，
∴2m+3≥3mm-2≥1⇔m≤3m≥3
∴m=3．…（2分）
∴a₁=C99•A11=1…（3分）．
（2）由(x+14x2)4知q=T₂=C14x³•14•x^-2=x．（5分）
∴a_n=x^n-1，
∴S_n=n(x=1)1-xn1-x(x≠1)．…（6分）
（3）当x=1时，S_n=n．A_n=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn…①
而A_n=nCnn+（n-1）Cn-1n+（n-2）Cn-2n+（n-3）Cn-3n+…+2C2n+C1n…②
又∵C0n=Cnn，C1n=Cn-1n，C2n=Cn-2n，…
①②相加得2A_n=n（C0n+C1n+C2n+C3n+…+Cnn）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1…．（9分）
当x≠1时，S_n=1-xn1-x，
A_n=11-x[（1-x）C1n+（1-x²）C2n+（1-x³）C3n+…+（1-xⁿ）Cnn]
=11-x[（C0n+C1n+C2n+C3n+…+Cnn）-C0n-（xC1n+x²C2n+…+xⁿCnn）]
=11-x[（2ⁿ-1）-（（1+x）ⁿ-1）]
=11-x[2ⁿ-（1+x）ⁿ]…．（11分）
∴An=n•2n-1(x=1)2n-(1+x)n1-x(x≠1)…．（12分）

解析

C3m2m+3

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}是等比数列，a1=C3m2.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。