已知数列{an}，其前n项和Sn满足Sn+1=2λSn+1，且a1=1，a3=4．求λ的值；求数列{an}的通项公式an．

题文

已知数列{a_n}，其前n项和S_n满足S_n+1=2λS_n+1（λ是大于0的常数），且a₁=1，a₃=4．
（Ⅰ）求λ的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由S_n+1=2λS_n+1得S₂=2λS₁+1=2λa₁+1=2λ+1，S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1
∴a₃=S₃-S₂=4λ²，∵a₃=4，λ＞0，∴λ=1
（Ⅱ）由S_n+1=2S_n+1整理得S_n+1+1=2（S_n+1），
∴数列{S_n+1}是以S₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列
∴S_n+1=2•2^n-1，∴S_n=2ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2）
∵当n=1时，a₁=1满足a_n=2^n-1，∴a_n=2^n-1

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}，其前n项和Sn满足Sn.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。