已知递增等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2和a4的等差中项，求数列{an}的通项公式；若bn=anlog12an，Sn=

题文

已知递增等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂和a₄的等差中项，
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=anlog12an，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞62成立的正整数n的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意，得a1q+a1q2+a1q3=28a1q+a1q3=2(a1q2+2)，…（2分）
解得a1=2q=2或a1=32q=12…（4分）
由于{a_n}是递增数列，所以a₁=2，q=2
即数列{a_n}的通项公式为a_n=2•2^n-1=2ⁿ…（6分）
（Ⅱ）bn=anlog12an=2n•log122n=-n•2n…（8分）
S_n=b₁+b₂+…+b_n=-（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ）①
则2S_n=-（1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹）②
②-①，得S_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
即数列{b_n}的前项和S_n=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹…（10分）
则S_n+n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2＞62，所以n＞5，
即n的最小值为6．…（12分）

解析

a1q+a1q2+a1q3=28a1q+a1q3=2(a1q2+2)

考点

据考高分专家说，试题“已知递增等比数列{an}满足：a2+a3.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。