已知数列{an}的前n项和为Sn，且点Pn总在直线x-3y-1=0上．求数列{an}的通项公式；设Tn为数列{1an}的前

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且点P_n（S_n，a_n）（n∈N^*）总在直线x-3y-1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{1an}的前n项和，若对∀n∈N^*总有Tn＞1-m2成立，其中m∈N^*，求m的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵点P_n（S_n，a_n）（n∈N^*）总在直线x-3y-1=0上．
∴S_n=3a_n+1
当n=1时，a₁=3a₁+1，∴a1=-12
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-3a_n-12an=3an-1⇒anan-1=32（n≥2）
即数列{a_n}是首项a1=-12，公比q=32的等比数列
∴an=a1qn-1=-12×(32)n-1．
（2）∵an=-12×(32)n-1，
∴1an=-2×(23)n-1
∴Tn=1a1+1a2+…+1an=-2[1+(23)+(23)2+…+(23)n-1]
=-2×[1-(23)n]1-23=-6×[1-(23)n]＞-6
∵对∀n∈N^*总有Tn＞1-m2成立
∴必须并且只需1-m2≤-6即m≥13．
∴m的最小值为13．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且点P.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。