设各项均为正数的等比数列{an}中，a1+a3=10，a3+a5=40．设bn=log2an．求数列{bn}的通项公式；若c1=1，cn+1=cn+

题文

设各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₃+a₅=40．设b_n=log₂a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；     
（2）若c₁=1，cn+1=cn+bnan，求证：c_n＜3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设数列{a_n}的公比为q（q＞0），
由a₁+a₃=10，a₃+a₅=40，则a1+a1q2=10    ①a1q2+a1q4=40②，
∵a₁≠0，②÷①得：q²=±2，又q＞0，∴q=2．
把q=2代入①得，a₁=2．
∴a_n=a1qn-1=2×2n-1=2ⁿ，则b_n=log2an=log22n=n；
（2）证明：∵c₁=1＜3，c_n+1-c_n=bnan=n2n，
当n≥2时，c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁=1+12+222+…+n-12n-1③，
∴12c_n=12+122+223+…+n-12n④，
③-④得：12cn=1+122+123+…+12n-1-n-12n
=1+14(1-12n-2)1-12-n-12n=1+12-12n-1-n-12n．
∴cn=3-12n-2-n-12n-1＜3（n≥2）．
故c_n＜3（n∈N^*）．

解析

a1+a1q2=10    ①a1q2+a1q4=40②

考点

据考高分专家说，试题“设各项均为正数的等比数列{an}中，a1.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。