在等比数列{an}中，已知a1＞1，公比q＞0．设bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1•b3•b5=0．求{an}、{bn}的通项公式；

题文

在等比数列{a_n}中，已知a₁＞1，公比q＞0．设b_n=log₂a_n，且b₁+b₃+b₅=6，b₁•b₃•b₅=0．
（Ⅰ）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与a_n的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）依题意，an=a1qn-1，
∵a₁＞1，q＞0，∴数列{a_n}是单调数列，
∵b₁+b₃+b₅=log₂a₃³=6，
∴a₃³=2⁶，得a₃=4
又∵b_n=log₂a_n，b₁•b₃•b₅=0及a₁＞1
∴b₅=0，可得a₅=1．
因此a3q2=1，即q²=14，解之得q=12（舍负）．
∴an=a5qn-5=(12)n-5=25-n，b_n=log₂a_n=5-n．…6′
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b_n=5-n，Sn=n(b1+bn)2=n(9-n)2．
①当n≥9时，S_n≤0，a_n＞0，此时S_n＜a_n；
②当n=1时，S_n=4且a_n=16；当n=2时，S_n=7且a_n=8．此时S_n＜a_n；
③当n=3、4、5、6、7、8时，a_n=4、2、1、12、14、18．此时S_n＞a_n
综上所述，当n=1或n=2或n≥9时，S_n＜a_n；当n=3、4、5、6、7、8时，S_n＞a_n．…13′

解析

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考点

据考高分专家说，试题“在等比数列{an}中，已知a1＞1，公比.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。