已知数列{an}的前n项和是Sn，a1=3，且an+1=2Sn+3，数列{bn}为等差数列，且公差d＞0，b1+b2+b3=15．求数列的通项公式；

题文

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，a₁=3，且a_n+1=2S_n+3，数列{b_n}为等差数列，且公差d＞0，b₁+b₂+b₃=15．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若a13+b1，a23+b2，a33+b3成等比数列，求数列{1bnbn+1}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+3，a_n=2S_n-1+3（n≥2）
得：a_n+1-a_n=2a_n∴a_n+1=3a_n（n≥2）
∴an+1an=3(n≥2)（2分）
a2=2a1+3=9，a2a1=3，（3分）
∴an+1an=3(n∈N*)
∴a_n=3ⁿ（4分）
（Ⅱ）由b₁+b₂+b₃=15，得b₂=5（5分）
则b₁=5-d，b₃=5+d，
a13+b1=6-d，a23+b2=8，a33+b3=14+d
则有：64=（6-d）（14+d）即：d²+8d-20=0（6分）
d=2或d=-10∵d＞0∴d=2（7分）
∴b_n=b₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1（8分）
∴Tn=1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1=13×5+15×7+…+1(2n+1)(2n+3)
=12(13-15+15-17+…+12n+1-12n+3)=12(13-12n+3)=n6n+9（10分）

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和是Sn，a1=.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。