已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数，数列{yn}满足ynlogaxn=2，设y3=18，y6=12．数列{yn}的前多少项和最

题文

已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足ynlogaxn=2（a＞0，且a≠1），设y₃=18，y₆=12．
（1）数列{y_n}的前多少项和最大，最大值是多少？
（2）试判断是否存在自然数M，使得n＞M时，x_n＞1恒成立，若存在，求出最小的自然数M，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{y_n}满足ynlogaxn=2（a＞0，且a≠1），
∴y_n=2log_ax_n，y_n+1=2log_ax_n+1，
则y_n+1-y_n=2（log_ax_n+1-log_ax_n）=2log_a（xn+1xn）．
∵{x_n}为等比数列，
∴xn+1xn为定值．
∴{y_n}为等差数列．
∵y₃=18，y₆=12，
∴y₆-y₃=3d=12-18，
∴d=-2，y₁=y₃-2d=22．
∴S_n=22n+n(n-1)2•（-2）=-n²+23n．
∴当n=11或n=12时，S_n取得最大值，且最大值为132．
（2）∵y_n=22+（n-1）（-2）=2log_ax_n，
∴x_n=a^12-n．又x_n=a^12-n＞1，
当a＞1时，12-n＞0，n＜12；
当0＜a＜1时，12-n＜0，n＞12．
综上所述，当0＜a＜1时，存在最小的自然数M=12，使得当n＞M时，x_n＞1恒成立．

解析

ynlogaxn

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。