设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=an+1-1．求数列{an}的通项公式．设bn=2n(an+1)(an+1+1)，Tn=b1+b2

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=a_n+1-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式．（2）设bn=2n(an+1)(an+1+1)，Tn=b1+b2+…+b_n，求证：13≤Tn＜1 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n+1-S_n-1=0①∴n≥2时，a_n-S_n-1-1=0②
①-②得：（(an+1-an)-(Sn-Sn-1)=0⇒(an+1-an)-an=0⇒an+1an=2(n≥2)
由a_n+1-2S_n-1=0及a₁=1得a₂-S₁-1=0⇒a₂=S₁+1=a₁+1=2∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1
（2）∵bk=2k(ak+1)(ak+1+1)=2k(2k-1+1)(2k+1)=2(12k-1+1-12k+1)
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2(a1+1)(a2+1)+22(a2+1)(a3+1)+23(a3+1)(a4+1)++2n(an+1)(an+1+1)=2[(120+1-12+1)+(12+1-122+1)+(122+1-122+1)++(12n-1+1-12n+1)]=2(12-12n+1)
∵0＜12n+1≤13，∴13≤2(12-12n+1)＜1，
所以13≤Tn＜1

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。