数列{an}满足a1=1，an+1=12an+n，n为奇数an-2n，n为偶数，且bn=a2n-2，n∈N*求a2，a3，a4．求证数列{bn}是以

题文

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=12an+n，n为奇数an-2n，n为偶数，且b_n=a_2n-2，n∈N*
（1）求a₂，a₃，a₄．
（2）求证数列{b_n}是以12为公比的等比数列，并求其通项公式．
（3）设（34）ⁿ•C_n=-nb_n，记S_n=C₁+C₂+…+C_n，求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a2=32，a3=-52，a4=74，
（2）bn+1bn=a2n+2-2a2n-2=12a2n+1+2n+1-2a2n-2=12(a2n-4n)+2n-1a2n-2=12a2n-1a2n-2=12
又b1=a2-2=-12，∴数列{b_n}是公等比为12的等比数列，且bn=(-12)×(12)n-1=-(12)n
（3）由（2）得(34)n•Cn=n•(12)n，∴Cn=n(23)n．
令Sn=C1+C2++Cn=23+2×(23)2+3×(23)3++n×(23)n．①
∴23Sn=(23)2+2×(23)3++(n-1)×(23)n+n×(12)n+1=(23[1-(23)n]1-23)-n(23)n+1=2[1-(23)n]-n(23)n+1
∴Sn=6[1-(23)n]-3n(23)n+1=6-(23)n(6+2n)

解析

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考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足a1=1，an+1=12.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。