已知等比数列{an}中，a2，a3，a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a1=12，公比q≠1．求数列{an}的通项公式；已知数列{bn

题文

已知等比数列{a_n}中，a₂，a₃，a₄分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a1=12，公比q≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2n-1（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知条件得a₂-a₃=2（a₃-a₄）．
即a₁（q-q²）=2a₁（q²-q³）
整理得：2q³-3q²+q=0解得q=12或q=1（舍去）或q=0（舍去）
所以an=(12)n．
（2）当n=1时，a₁b₁=1，∴b₁=2，
当n≥2时，a₁b₁+a₂b₂++a_n-1b_n-1+a_nb_n=2n-1（1）
a₁b₁+a₂b₂++a_n-1b_n-1=2n-3（2）
（1）-（2）得：a_nb_n=2
∵an=(12)n．∴b_n=2^{n+1（n≥2）}
因此bn=2，n=12n+1，n≥2
当n=1时，S_n=S₁=b₁=2；
当n≥2时，Sn=b1+b2++bn=2+8(1-2n-1)1-2=2n+2-6．
综上，S_n=2ⁿ⁺²-6．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}中，a2，a3，a4.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。