正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a4=16，且a2，a3的等差中项为S2．求数列{an}的通项公式；设bn=na2n-1，求数列{bn}的前n

题文

正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=16，且a₂，a₃的等差中项为S₂．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=na2n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得，a₂+a₃=2S₂=2a₁+2a₂
∴a1q3=16a1q+a1q2=2a1(1+q)
∵q＞0
解方程可得，a₁=2，q=2
∴an=2n
（2）∵b_n=na2n-1=n22n-1
∴T_n=12+223+…+n22n-1
Tn4=123+225+…+n-122n-1+n22n+1
两式相减可得，3Tn4=12+18+…+122n-1-n22n+1=(1-14n)×121-14-n22n+1
=2-222n3-n22n+1
∴T_n=8-1622n9-4n6×22n

解析

a1q3=16a1q+a1q2=2a1(1+q)

考点

据考高分专家说，试题“正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。