已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn，且满足：a2•a4=65，a1+a5=18．若1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i

题文

已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和S_n，且满足：a₂•a₄=65，a₁+a₅=18．
（1）若1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是某等比数列的连续三项，求i的值；
（2）设bn=n(2n+1)Sn，是否存在一个最小的常数m使得b₁+b₂+…+b_n＜m对于任意的正整数n均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，∵a₂•a₄=65，a₁+a₅=18．
∴（a₁+d）（a₁+3d）=65，a₁+a₁+4d=18．
∵d＞0，∴d=4，a₁=1
∴a_n=4n-3，
∵a₁，a_i，a₂₁是某等比数列的连续三项，
∴a₁a₂₁=ai2
∴1•81=（4i-3）²
∵1＜i＜21，∴i=3；
（2）由（1）可得Sn=n•1+n(n-1)2•4=2n2-n
∴bn=n(2n+1)Sn=1(2n-1)(2n+1)=12（12n-1-12n+1）
∴b₁+b₂+…+b_n=12（1-13+13-15+…+12n-1-12n+1）=n2n+1=12-12(2n+1)＜12
∵b₁+b₂+…+b_n＜m对于任意的正整数n均成立，
∴m=12

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知公差大于零的等差数列{an}的前n项.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。