设公比小于零的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=-1，S3=3a3．求数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足bn=an+2n-1，求数

题文

设公比小于零的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=-1，S₃=3a₃．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足b_n=a_n+2n-1，求数列{b_n}的前n项T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵公比小于零的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=-1，S₃=3a₃，
∴S3=a1+a1q+a1q2=-1-q-q²=-3，
∴q²+q-2=0，解得q=-2，或q=1（舍）．
∴an=(-1)•(-2)n-1．
（Ⅱ）∵数列{b_n}满足b_n=a_n+2n-1，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（a₁+1）+（a₂+3）+（a₃+5）+…+[a_n+（2n-1）]
=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+[1+3+5+…（2n-1）]
=（-1）•1×[1-(-2)n]1-(-2)+n2[1+(2n-1)]
=-1-(-2)n3+n²．

解析

1×[1-(-2)n]1-(-2)

考点

据考高分专家说，试题“设公比小于零的等比数列{an}的前n项和.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。