数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1求{an}的通项公式；等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=

题文

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为a_n+1=2S_n+1，…①
所以a_n=2S_n-1+1（n≥2），…②
所以①②两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2）
又因为a₂=2S₁+1=3，
所以a₂=3a₁，
故{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列
∴a_n=3^n-1．
（2）设{b_n}的公差为d，由T₃=15得，可得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，
故可设b₁=5-d，b₃=5+d，
又因为a₁=1，a₂=3，a₃=9，并且a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，
所以可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，
解得d₁=2，d₂=-10
∵等差数列{b_n}的各项为正，
∴d＞0，
∴d=2，
∴Tn=3n+n(n-1)2×2=n2+2n

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。