已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn=a2n+n-4。求证{an}为等差数列；求{an}的通项公式。

题文

已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且满足2S_n=a²_n+n-4。
（1）求证{a_n}为等差数列；
（2）求{a_n}的通项公式。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）当n=1时，有2a₁=a+1-4，即a²₁-2a₁-3=0，
解得a₁=3（a₁=-1舍去）
当n≥2时，有2S_n-1=a²_n-1+n-5，
又2S_n=a²_n+n-4，
两式相减得2a_n=a²_n-a²_n-1+1，
即a²_n-2a_n+1=a²_n-1，
也即（a_n-1）²=a²_n-1，
因此a_n-1=a_n-1或a_n-1=-a_n-1
若a_n-1=-a_n-1，则a_n+a_n-1=1，而a₁=3，
所以a₂=-2，这与数列{a_n}的各项均为正数相矛盾，
所以a_n-1=a_n-1，即a_n-a_n-1=1，
因此{a_n}为等差数列
（2）由（1）知a₁=3，d=1，
所以数列{a_n}的通项公式a_n=3+（n-1）=n+2，
即a_n=n+2。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的各项均为正.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：