对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点。如果函数f(x)=(b，c∈N)有且只有两个不动点0，2，且f(-2

题文

对于函数f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)=x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点。如果函数f(x)=

(b，c∈N)有且只有两个不动点0，2，且f(-2)＜

，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知各项不为零的数列{a_n}满足4S_n·

=1(S_n为数列前n项和)，求数列{a_n}的通项公式a_n；
(3)如果数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1=f(a_n)，求证：当n≥2时，恒有a_n＜3成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(1)依题意有

，化简得(1-b)x²+cx+a=0，
由韦达定理，得

，解得

，
代入表达式得

，
由

得c＜3，
又c∈N，b∈N，
若c=0，b=1，则f(x)=x，不满足题意，
∴c=2，b=2，
故

。
(2)由题设得

，得：

， (*)
且a_n≠1，用n-1代n得：

，(**)
(*)与(**)两式相减得：

，
即

，
∴

或

，
把n=1代入(*)得：

，
解得a₁=0(舍去)或a₁=-1，
若

，得a₂=1，这与a_n≠1矛盾，
∴

，即{a_n}是以-1为首项，-1为公差的等差数列，
∴a_n=-n。
(3)采用反证法，假设a_n≥3(n≥2)，则由(1)知

，
∴

，
即

，有

，
而当n=2时，

，
∴a_n＜3，这与假设矛盾，故假设不成立，
∴a_n＜3。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“对于函数f(x)，若存在x0∈R，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：