已知y=f定义在R上的单调函数，当x＜0时，f＞1，且对任意的实数x、y∈R，有f=f·f，设数列{an}满足a1

题文

已知y=f（x）定义在R上的单调函数，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x、y∈R，有f（x+y）=f（x）·f（y），设数列{a_n}满足a₁=f（0），且

（n∈N*）．
（Ⅰ）求通项公式a_n的表达式；
（Ⅱ）令

，S_n=b1+b2+…+bn，

，试比较S_n与

的大小，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）由题意，令y=0，x＜0，得f（x）[1﹣f（0）]=0，
∵当x＜0时，f（x）＞1，∴a₁=f（0）=1
由递推关系知f（a_n+1）?f（﹣2﹣a_n）=1，即f（a_n+1﹣2﹣a_n）=f（0），
∵f（x）在R上单调，∴a_n+1﹣a_n=2，（n∈N*），
又a₁=1，∴a_n=2n﹣1．
（Ⅱ）

=

，
∴

=

，



=

，


，
∴欲比较S_n与

的大小，只需比较4ⁿ与2n+1的大小．
∵4ⁿ=（1+3）ⁿ=C_n⁰+C_n¹?3+…+C_nⁿ?3n≥1+3n＞2n+1，
∴S_n＞

．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知y=f（x）定义在R上的.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：