已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项．求数列{an}与{b

题文

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对任意正整数n均有

成立，求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²（d＞0）
∵a₁=1，∴d=2，
∴a_n=2n﹣1，
∵b₂=a₂=1+2=3，b₃=a₅=1+8=9，
∴

，
∴b₁=1，q=3，
∴b_n=3 ^n﹣1
（2）当n=1时，c₁=2a₂×b₁=18；
当n≥2时，

=4n+1，
∴c_n=（4n+1）

3 ^n﹣1，
故

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=18+9×3+13×3²+17×3³+…+（4n﹣3）×3 ^n﹣2+（4n+1）×3 ^n﹣1，①
3S_n=54+9×3²+13×3³+17×3⁴+…+（4n﹣3）×3 ^n﹣1+（4n+1）×3ⁿ，②
①﹣②，得
﹣2S_n=﹣9+4（3²+3³+3⁴+…+3 ^n﹣1）﹣（4n+1）×3ⁿ
             =

﹣（4n+1）×3ⁿ
        =﹣9+2×3ⁿ﹣18﹣（4n+1）×3ⁿ
        =﹣27+（1﹣4n）×3ⁿ，
∴

．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的首项a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：