已知数列{an}满足：a1=1，a2=a，数列{bn}满足bn=ana n+1若{an}是等差数列，且b3=12，求数列

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a＞0），数列{b_n}满足b_n=a_na _n+1（n∈N*）
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，且b₃=12，求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）若{a_n}是等比数列，求数列{b_n}的前n项和S_n．
（Ⅲ）若{b_n}是公比为a﹣1的等比数列时，{a_n}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）∵{a_n}是等差数列a₁=1，a₂=a，b_n=a_na _n+1，b₃=12
∴b₃=a₃a₄=（a₁+2d）（（a₁+3d）=（1+2d）（1+3d）=12
即d=1或d=


又因a=a₁+d=1+d＞0得d＞﹣1
∴d=1
∴a_n=n
（Ⅱ）{a_n}是等比数列，首项a₁=1，a₂=a，
故公比

，
所以a_n=a ^n﹣1，
代入{b_n}的表达式得b_n=a_na _n+1=a ^2n﹣1，可得



∴数列{b_n}是以a为首项，公比为 a²的等比数列
故Sn=




（Ⅲ）{a_n}不能为等比数列，理由如下：
∵b_n=a_na _n+1，{b_n}是公比为a﹣1的等比数列
∴


∴a₃=a﹣1
假设{a_n}为等比数列，由a₁=1，a₂=a得
a₃=a²，
所以a²=a﹣1
因此此方程无解，
所以数列一定不能等比数列．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：