已知函数f=，数列{an}满足：an＞0，a1=1，an+1=f，n∈N+求数列{an}的通项公式；若bn=+1，对任意正整

题文

已知函数f（x）=

，数列{a_n}满足：a_n＞0，a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N⁺
（I ）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若b_n=

+1，对任意正整数n，不等式

﹣

≤0恒成立，求正数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）由题意，∵函数f（x）= 

，a_n+1=f（a_n）
∴a_n+1= 

， ∴ 


∵a₁=1，∴数列{

 }是以1为首项，1为公差的等差数列．   
∴

 =n，∴

 
（II）∵b_n= 

+1，∴b_n=2n+1，
∴对任意正整数n，不等式 

﹣ 

≤0恒成立等价于

 … 


记 

…

 
∴ 

… 


∴

 = 


∴g（n+1）＞g（n），即g（n）在n∈N*上递增，
∴g（n）_min=g（1）= 


∴k∈（0，

 ]．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=，数列{an}满.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：