记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2+2，S3=12+32．求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；记bn=an-2，若

题文

记公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2+2，S₃=12+32．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）记b_n=a_n-2，若自然数n₁，n₂，…，n_k，…满足1≤n₁＜n₂＜…＜n_k＜…，并且b n1，b n2，…，b nk，…成等比数列，其中n₁=1，n₂=3，求n_k（用k表示）；
（3）试问：在数列{a_n}中是否存在三项a_r，a_s，a_t（r＜s＜t，r，s，t∈N^*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为a₁=2+2，S₃=3a₁+3d=12+32，所以d=2．
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n+2，Sn=n(a1+an)2=n(2+2+2n+2)2=n2+(2+1)n；
（2）因为bn=an-2=2n，所以bnk=2n_k．
又因为数列{bnk}的首项bn1=b₁=2，
公比q=bn2bn1=31=3，所以bnk=2•3k-1．
所以2n_k=2•3^k-1，即nk=3k-1．
（3）假设存在三项a_r，a_s，a_t成等比数列，则as2=ar•at，
即有(2s+2)2=(2r+2)(2t+2)，整理得(rt-s2)2=2s-r-t．
若rt-s²≠0，则2=2s-r-trt-s2，因为r，s，t∈N^*，所以2s-r-trt-s2是有理数，
这与2为无理数矛盾；
若rt-s²=0，则2s-r-t=0，从而可得r=s=t，这与r＜s＜t矛盾．
综上可知，不存在满足题意的三项a_r，a_s，a_t．

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：