已知{an}是等差数列，其前n项和为5n，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a2+b4=21，b4-S3=1．求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ

题文

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为5_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₂+b₄=21，b₄-S₃=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的首项为q，
∵a₁=b₁=2，a₂+b₄=21，b₄-S₃=1
∴2+d+2q3=212q3-(3×2+3d)=1
∴d=3，q=2
∴a_n=3n-1，b_n=2ⁿ；
（Ⅱ）c_n=a_n•b_n=（3n-1）•2ⁿ，
∴T_n=2×2¹+5×2²+…+（3n-1）•2ⁿ，
∴2T_n=2×2²+5×2³+…+（3n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2×2¹+3×2²+…+3•2ⁿ-（3n-1）•2ⁿ⁺¹=（4-3n）•2ⁿ⁺¹-8
∴T_n=（3n-4）•2ⁿ⁺¹+8．

解析

2+d+2q3=212q3-(3×2+3d)=1

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是等差数列，其前n项和为5n.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：