已知数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{bn}的前n项和Sn=n2．求数列{an}与{bn}的通项公式；求数列{bnan}的前n项和．

题文

已知数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{b_n}的前n项和Sn=n2．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求数列{bnan}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以数列{a_n}的通项公式为an=2n-1．
因为数列{b_n}的前n项和Sn=n2．
所以当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时，b₁=S₁=1=2×1-1，
所以数列{b_n}的通项公式为b_n=2n-1．
（2）由（1）可知，bnan=2n-12n-1．
设数列{bnan}的前n项和为T_n，
则    Tn=1+32+54+78+…+2n-32n-2+2n-12n-1，
即   12Tn=12+34+58+716+…+2n-32n-1+2n-12n，
得12Tn=1+1+12+14+18+…+12n-2-2n-12n=1+1-(12)n-11-12-2n-12n=3-2n+32n，
所以Tn=6-2n+32n-1．
故数列{bnan}的前n项和为6-2n+32n-1．

解析

bnan

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项为1，公比为2的等.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：