已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，数列{Snn}是首项为0，公差为12的等差数列．求数列{an}的通项公式；设bn=415•(-2)an

题文

已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为S_n，数列{Snn}是首项为0，公差为12的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=415•(-2)an(n∈N*)，对任意的正整数k，将集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d_k，求证：数列{d_k}为等比数列；
（3）对（2）题中的d_k，求集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由条件得Snn=0+(n-1)12，即Sn=n2(n-1)，
∴an=n-1(n∈N*)．
（2）由（1）可知bn=415•(-2)n-1(n∈N*)
∴b2k-1=415(-2)2k-2=415•22k-2，b2k=415(-2)2k-1=-415•22k-1，b2k+1=415(-2)2k=415•22k，
由2b_2k-1=b_2k+b_2k+1及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1得b_2k，b_2k-1，b_2k+1依次成递增的等差数列，
所以dk=b2k+1-b2k-1=415•22k-415•22k-2=4k5，
满足dk+1dk=4为常数，所以数列{d_k}为等比数列．
（3）①当k为奇数时，dk=4k5=(5-1)k5=5k-C1k5k-1+C2k5k-2-…+(-1)k5=5k-1-C1k5k-2+C2k5k-3-…+Ck-1k50(-1)k-1-15
同样，可得dk+1=4k+15=(5-1)k+15=5k-C1k+15k-1+C2k+15k-2-…+Ckk+150(-1)k+15，
所以，集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数为(dk+1-15)-(dk+15)+1=dk+1-dk+35=3(4k+1)5；
②当k为偶数时，同理可得集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数为3•(4k-1)5

解析

Snn

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：