已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn都在函数f=x2+2x的图象上，且过点Pn的切线的斜率为kn．求数列

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若bn=2knan，求数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）设Q={x|x=k_n，n∈N^*}，R={x|x=2a_n，n∈N^*}，等差数列{c_n}的任一项c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，
∴S_n=n²+2n（n∈N^*），
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1．
当n=1时，a₁=S₁=3满足上式，所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1（3分）
（2）由f（x）=x²+2x求导可得f′（x）=2x+2
∵过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n，
∴k_n=2n+2．
∴bn=2knan=4•(2n+1)•4n．
∴T_n=4×3×4¹+4×5×4²+4×7×4³++4×（2n+1）×4ⁿ①
由①×4，得4T_n=4×3×4²+4×5×4³+4×7×4⁴++4×（2n+1）×4ⁿ⁺¹②
①-②得：-3T_n=4[3×4+2×（4²+4³++4ⁿ）-（2n+1）×4ⁿ⁺¹]=4[3×4+2×42(1-4n-1)1-4-(2n+1)×4n+1]∴Tn=6n+19•4n+2-169．（8分）
（3）∵Q={x|x=2n+2，n∈N^*}，R={x|x=4n+2，n∈N^*}，∴Q∩R=R．
又∵c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，
∴c₁=6．
∵{c_n}是公差是4的倍数，
∴c₁₀=4m+6（m∈N^*）．
又∵110＜c₁₀＜115，
∴110＜4m+6＜115m∈N*，解得m=27．
所以c₁₀=114，
设等差数列的公差为d，则d=c10-c110-1=114-69=12，
∴c_n=6+（n+1）×12=12n-6，所以{c_n}的通项公式为c_n=12n-6（14分）

解析

42(1-4n-1)1-4

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：