已知函数f=x2-2x+4，数列{an}是公差为d的等差数列，若a1=f，a3=f求数列{an}的通项公式；Sn为{an}

题文

已知函数f（x）=x²-2x+4，数列{a_n}是公差为d的等差数列，若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）S_n为{a_n}的前n项和，求证：1S1+1S2+…+1Sn≥13． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₁=f（d-1）=d²-4d+7，a₃=f（d+1）=d²+3，
又由a₃=a₁+2d，可得d=2，所以a₁=3，a_n=2n+1
（2）证明：由题意，S_n=n(3+2n+1)2=n(n+2)，
所以，1Sn=1n(n+2)=12(1n-1n+2)
所以，1S1+1S2+…+1Sn=12(1-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2)
=12(32-1n+1-1n+2)≥12(32-11+1-11+2)=13

解析

n(3+2n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-2x+4，数列{.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：