等差数列{an}的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．求an与bn；求和：1S

题文

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求a_n与b_n；
（2）求和：1S1+1S2+…+1Sn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则d为正整数，a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1
依题意有S3b3=(9+3d)q2=960S2b2=(6+d)q=64①
解得d=2q=8，或d=-65q=403（舍去）
故a_n=3+2（n-1）=2n+1，b_n=8^n-1
（2）S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）
∴1S1+1S2++1Sn=11×3+12×4+13×5++1n(n+2)=12(1-13+12-14+13-15++1n-1n+2)=12(1+12-1n+1-1n+2)=34-2n+32(n+1)(n+2)

解析

S3b3=(9+3d)q2=960S2b2=(6+d)q=64

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}的各项均为正数，a1=3.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：