已知数列{an}的前n项和Sn=-12n2+kn，且Sn的最大值为8．确定常数k，求an；求数列{9-2an2n}的前n项和Tn．

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-12n²+kn（其中k∈N₊），且S_n的最大值为8．
（1）确定常数k，求a_n；
（2）求数列{9-2an2n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=k时，Sn=-12n2+kn取得最大值
即8=Sk=-12k2+k2=12k2=8
∴k=4，S_n=-12n²+4n
从而a_n=s_n-s_n-1=-12n2+4n-[-12（n-1）²+4（n-1）]=92-n
又∵a1=S1=72适合上式
∴an=92-n
（2）∵bn=9-2an2n=n2n-1
∴Tn=1+22+322+…+n-12n-2+n2n-1
12Tn=12+ 222+…+n-12n-1+n2n
两式向减可得，12Tn=1+12+122+…+12n-1-n2n
=1-12n1-12-n2n=2-12n-1-n2n-1
∴Tn=4-n+22n-1

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=-12n.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：