已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为10，ana3n是一个与n无关的常数，数列{an}的前n项和为Sn．求数列{an}的通项公式及数列{1Sn}

题文

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和为10，ana3n是一个与n无关的常数，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式及数列{1Sn}的前n项和T_n；
（2）若a₁，a₂，a₄恰为等比数列{b_n}的前三项，记数列c_n=a_n（cosnπ+b_n），求{c_n}的前n项和为K_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）∵ana3n是一个与n无关的常数，∴a₁=d．
又S4=4a1+12×4×3×d=10a1=10，∴a₁=1，
∴a_n=n，Sn=n(n+1)2，
∴1Sn=2(1n-1n+1)，
∴T_n=1S1+1S2+…+1Sn=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]=2(1-1n+1)=2nn+1．
（2）∵b₁=a₁=1，b₂=a₂=2，b3=a4=22是等比数列{b_n}的前3项，
∴bn=2n-1．
∴c_n=n（-1）ⁿ+n×2^n-1，
记An=-1+2-3+…+(-1)nn，
则An=-n+12，当n为奇数时n2，当n为偶数时，
B_n=1+2×2¹+3×2²+…n×2^n-1=（n-1）2ⁿ+1．
K_n=(n-1)•2n-1+n2，当n为奇数时(n-1)•2n+n2，当n为偶数时．

解析

ana3n

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均不相等的等差数列{an}的前四.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：