已知函数f=a1x+a2x2+…+anxn，若a1，a2，…an，构成数列，f=n2+2n，求an，求f．

题文

已知函数f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N₊），若a₁，a₂，…a_n，构成数列，f（1）=n²+2n，
（1）求a_n，
（2）求f（3）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知f（1）=n²+2n，可得a₁+a₂+…+a_n=n²+2n，令Sn=n2+2n，
∴当n=1时，a₁=1+2=3；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]
=2n+1，n=1时也成立．
∴a_n=2n+1．
（2）由（1）可得a_n=2n+1．
∴f（3）=3×3+5×3²+7×3³=117．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=a1x+a2x2+…+.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：