在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项Sn满足Sn2=an(Sn-12)．求an；设bn=Sn2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn；（

题文

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项S_n满足S_n²=a_n(Sn-12)．
（I）求a_n；
（II）设b_n=Sn2n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（III）是否存在自然数m，使得对任意n∈N^*，都有T_n＞14（m-8）成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵S_n²=a_n（S_n-12）（n≥2）
∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-12）
∴2S_nS_n-1=S_n-1-S_n
∴2=1Sn-1Sn-1…（2分）
又a₁=1，1S1=1
∴数列{1Sn}为首项为1，公差为2的等差数列．…（3分）
∴1Sn=1+（n-1）•2=2n-1
∴S_n=12n-1．
∴a_n=1，(n=1)-2(2n-1)(2n-3)，(n≥2)…（5分）
（II）b_n=Sn2n+1=1(2n+1)(2n-1)=12(12n-1-12n+1）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=12[(1-13)+(13-15)+…+(12n-3-12n-1)+(12n-1-12n+1）]
=12(1-12n+1)=n2n+1…（8分）
（III）令T（x）=x2x+1，则T（x）在[1，+∞）上是增函数
∴当n=1时T_n=n2n+1(n∈N*)取得最小值．T1=13…（10分）
由题意可知，要使得对任意n∈N^*，都有T_n＞14（m-8）成立，
只要T₁＞14（m-8）即可．
∴13＞14（m-8），解之得m＜283
又∵m∈n，∴m=9．…（12分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：