已知正项数列{an}中，a1=6，点An(an，an+1)在抛物线y2=x+1上；数列{bn}中，点Bn在过点，以方向向量为的直

题文

已知正项数列{a_n}中，a₁=6，点An(an，an+1)在抛物线y²=x+1上；数列{b_n}中，点B_n（n，b_n）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；（文理共答）
（Ⅱ）若f（n）=an，(n为奇数)bn，(n为偶数)，问是否存在k∈N，使f（k+27）=4f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（文理共答）
（Ⅲ）对任意正整数n，不等式an+1(1+1b1)(1+1b2)…(1+1bn)-ann-2+an≤0成立，求正数a的取值范围．（只理科答） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）将点An(an，an+1)代入抛物线y²=x+1，
得a_n+1=a_n+1，
∴a_n+1-a_n=d=1，
∴a_n=a₁+（n-1）•1=n+5，
∵过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线方程为y=2x+1，
点B_n（n，b_n）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上，
∴b_n=2n+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=an，(n为奇数)bn，(n为偶数)=n+5，n为奇数2n+1，n为偶数，
当k为偶数时，k+27为奇数，
∴f（k+27）=4f（k），
∴k+27+5=4（2k+1），∴k=4．
当k为奇数时，k+27为偶数，
∴2（k+27）+1=4（k+5），∴k=352（舍去）
综上所述，存在唯一的k=4符合条件．
（Ⅲ）由an+1(1+1b1)(1+1b2)…(1+1bn)-ann-2+an≤0，
即a≤12n+3(1+1b1)(1+1b2)…(1+1bn)，
设f（n+1）=12n+5(1+1b1)(1+1b2)…(1+1bn)(1+1bn+1)，
∴f(n+1)f(n)=2n+32n+5•(1+1bn+1)
=2n+32n+5•2n+42n+3
=2n+42n+5•2n+3
=4n2+16n+164n2+16n+15＞1，
∴f（n+1）＞f（n），即f（n）递增，
∴f（n）_min=f（1）=15•43=4515，
∴0＜a≤4515．…（12分）

解析

an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知正项数列{an}中，a1=6，点An.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：