数列{an}前n项和为Sn=n2+2n，等比数列{bn}各项为正数，且b1=1，{ban}是公比为64的等比数列．求数列{an}与{bn}的通项公式；（2

题文

数列{a_n}前n项和为Sn=n2+2n，等比数列{b_n}各项为正数，且b₁=1，{ban}是公比为64的等比数列．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）证明：1S1+1S2+…+1Sn＜34． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，a₁=S₁=3，
n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-{(n-1)2+2(n-1)}=2n+1
经验证，当n=1时，上式也适合，故a_n=2n+1．
设{b_n}公比为q，则ba2ba1=b5b3=q2=64，
因为{b_n}各项为正数所以q=8，∴bn=8n-1，
故数列{a_n}与{b_n}的通项公式分别为：a_n=2n+1，bn=8n-1
（2）由题意可知1Sn=1n2+2n=12(1n-1n+2)
∴1S1+1S2+…1Sn=12(1-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2)
=12(1+12-1n+1-1n+2)=34-12(1n+1+1n+2)＜34
故原不等式得证．

解析

ba2ba1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}前n项和为Sn=n2+2n，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：