设数列{an}，{bn}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列{an+1-an}是等差数列，数列{bn-2}是等比数

题文

设数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃=3，且数列{a_n+1-a_n}（n∈N⁺）是等差数列，数列{b_n-2}（n∈N₊）是等比数列．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）是否存在k∈N⁺，使ak-bk∈(0，12)，若存在，求出k，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1
得公差d=-1-（-2）=1
所以a_n+1-a_n=（a₂-a₁）+（n-1）×1=n-3
故a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=6+（-2）+（-1）+0+…+（n-4）
=6+[(-2)+(n-4)](n-1)2
=n2-7n+182
由已知b₁-2=4，b₂-2=2所以公比q=12
所以bn-2=(b1-2)(12)n-1=4×(12)n-1．
故bn=2+8×(12)n
（2）设f（k）=a_k-b_k=(12k2-72k+9)-[2+8×(12)k]
=12[(k-72)2-494]-8×(12)k+7
所以当k≥4时，f（k）是增函数．
又f(4)=12，所以当k≥4时f(k)≥12，
而f（1）=f（2）=f（3）=0，所以不存在k，使f(k)∈(0，12)．

解析

[(-2)+(n-4)](n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}，{bn}满足a1=b1=.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：